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Fonctions

Publié le 16 sept. 2011 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  vendredi 16 septembre 2011

Aire maximale dans un triangle Un problème d’optimisation : expérimenter, conjecturer, démontrer

Un problème d’optimisation : expérimenter, conjecturer, démontrer

  • Présentation de l’activité


    Soit ABC un triangle rectangle en A.

    aire mini

     

    Le point M est un point mobile sur le segment [BC]. On appelle N et P les projetés orthogonaux de M respectivement sur les segments [AB] et [AC]. On veut déterminer pour quelle position de M l’aire du rectangle ANMP est maximale.

    Public/Niveau : Seconde, prolongement possible en 1ère S.


    Objectifs


    · Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d’optimisation.

    · Conformément au programme officiel de seconde, cette activité aide « à poursuivre l’apprentissage d’une démarche déductive », en utilisant « les possibilités qu’offrent les logiciels de géométrie ».


    Pré-requis


    Mathématiques :

    Connaissances mobilisées des années antérieures : aire d’un rectangle, théorème de Pythagore, théorème de Thalès ou trigonométrie.

    Pré-requis de seconde : Exprimer une valeur en fonction d’une variable, extremum d’une fonction, triangles semblables (non indispensable).

    T.I.C.E. : Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique.


    Déroulement de l’activité


    Pour l’expérimentation et la conjecture :en groupe en salle informatique, un ou deux élèves par poste.

    Pour la démonstration : en classe entière.

    Suivant les difficultés rencontrées, des fiches sont mises à disposition des élèves :

    Pour la construction une aide technique pour le logiciel choisi.

    Pour l’expérimentation une aide méthodologique (3 niveaux).

    Pour la démonstration par l’étude d’une fonction une aide mathématique (4 niveaux)


    Apport de l’outil informatique


    Dans tous les cas, l’existence d’une conjecture solide change la méthode de travail pour construire la démonstration : les élèves ne partent pas à l’aveuglette, ils ont un but clair et des outils supplémentaires. Par exemple, conjecturer la valeur du maximum permet une démonstration avec les outils algébriques de Seconde, en prenant un triangle particulier de dimension connues. De plus on peut songer aussi en Seconde dans le cas général à une démonstration géométrique par « découpage » des aires : voir dans la fiche professeur les démonstrations possibles.

    Cette activité permet de valider des compétences du B2i dans les domaines 1 et 3 :

    Domaine 1 : S’approprier un environnement informatique de travail fiche élève ;

    Domaine 3 : Créer, produire, traiter, exploiter des données.