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Fonctions

Publié le 15 sept. 2011 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  jeudi 15 septembre 2011

Distance minimale dans un triangle

Un problème d’optimisation : expérimenter, conjecturer, démontrer

  • Dans un triangle rectangle, projections orthogonales, sur les deux côtés qui forment l'angle droit, d'un point mobile sur l'hypoténuse.

     

    Présentation de l’activité

    ABC est un triangle rectangle en A.

     

     

    M est un point de l’hypoténuse [BC].

    N et P sont les projetés orthogonaux respectifs de M sur [AB] et [AC].

    On veut déterminer, sur [BC] un point M tel que la distance NP soit minimale.

    Pour résoudre ce problème, on peut rester dans un cadre purement géométrique. Le choix fait ici est se rapporter à un cadre analytique.

     

    Public

    Seconde ou Première S

     

    Objectifs

    Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d’optimisation.

    Conformément au programme officiel, cette activité aide « à poursuivre l’apprentissage d’une démarche déductive », en utilisant « les possibilités qu’offrent les logiciels de géométrie ».

    « L’étude de fonctions ne sera pas présentée comme une fin en soi, mais interviendra lors de la résolution de problèmes » (Programme de 1re S).

     

    Pré-requis

    Mathématiques

    Connaissances de base : théorèmes de Thalès et de Pythagore, droites remarquables dans un triangle ;

    Connaissances de Seconde : repérage dans le plan ; fonctions affines ; notion d’extremum ;

    Connaissances de Première : polynômes du second degré ou fonction et dérivation.

    T.I.C.E.

    Savoir utiliser un logiciel de géométrie dynamique.

     

    Déroulement

    Réflexion individuelle (en classe ou à la maison) de façon à permettre aux élèves de s’approprier le problème.

    En salle informatique, seul ou par groupe de deux : recherche d’une conjecture.

    En classe : mise en place d’une stratégie de démonstration.

    En travail à la maison : Rédaction d’une démonstration dans un cas numérique (ou général).

     

    Intérêt des TICE

    L’expérimentation permet de conjecturer la position du point M qui donne la distance minimale : cette conjecture n’a rien d’évident et constitue une phase de recherche intéressante avant la démonstration analytique. On peut voir dans le compte-rendu que cette recherche est à l’origine d’une démonstration purement géométrique par certains élèves, rendue possible par l’existence de la conjecture !

    Cette activité permet de valider des compétences du B2i du domaine 3 : créer, produire, traiter, exploiter des données (ici une situation géométrique).

     

    Prolongements possibles

    Cette activité peut aussi être traitée suivant les scénarios des activités 2 et 4. L’activité 4 peut en être un prolongement… ou l’inverse !

     

    Fichiers utiles

    On trouvera ci-joint : une fiche professeur qui reprend et détaille cette présentation, ainsi que la fiche élève correspondant à notre scénario.

    Un fichier ZIP contenant un compte rendu d’expérimentation et la figure réalisée sous géoplan.